考完试的晚上就是容易emo，尤其是如果你发现自己什么难题都没做出来还空了一些简单题的时候。更可怕的是邻座的同学好像都做出来了，这让人很难不怀疑自己的水平。虽然总是被安慰（也许也确实是事实）数学水平和考试成绩没什么关系，但是如果没有一次从过程到结果都令人满意的考试，那好像说这句话时也硬气不起来。不幸的是，细数大学以来的数次专业课考试，好像确实没有一场酣畅淋漓的大胜。
  如果要细究其中缘由，或许“学得多”是一个不错的借口，尽管确有跟我的课差不多却成绩好于我的，但这至少算得上是一个不错的理由。那为什么要选那么多课呢？总是不想为无趣的事所烦扰，想专心学那些有趣的东西，最终却让那些“有趣”的东西相互倾轧，好像什么都没学好。抛开可能的外界因素，我想最核心的原因也许是有一种紧迫感吧。不知不觉间已是大一下半学期，掰着手指一算后年就要大四了。每当排课表、定学习任务时便感到时间正从指缝间缓缓流走，于是难免想要多学些，再多学些，也不知是好是坏。或许有时当一只知道很多事的狐狸，也没什么不好的。

  受辩论教练推荐读的这本书作为政治哲学的入门材料。说是入门，但这本书并没有系统地、按时间顺序依次讲述各个政治哲学领域的著名理论。相反，本书以问题为导向，在界定了政治哲学研究的基本边界以后便以政治哲学领域的基本问题展开探讨，将霍布斯、洛克、卢梭、穆勒、罗尔斯等名家的理论观点一一呈现，最终向读者呈现政治哲学的基本框架。
  另一方面，这本书的写作逻辑相当辩手化，或者从某种意义上说，数学化。这也许就是我的辩论教练推荐这本书的原因。具体来说，这本书不是枯燥地讲述名家地一面之词，一个理论的提出必然会伴随数不胜数的挑战。而本书恰恰将那些最有价值的反对意见呈现在读者眼前，为他们搭建擂台，任由他们交锋。此外，作者也会在讲述的过程中反复检视那些理论，替读者质疑那些看上去不充分，不完备的论证。读者得以在这些交锋中品味理论的优劣。
  语言风格方面，本书语言相当生活化，常常将那些抽象的理论放入具体情境中思考，玩味。在常识中寻找支持和反驳。
  限于篇幅，本书并没有展开最后一章中提到的现代社会的种种全新议题，但在延伸阅读中给出了推荐书目，也许将这本书当作政治哲学的学习提纲也不失为一种好用法。

  和朋友喝酒时不自觉地想到酒的起源。酒究竟是因何而降临到这世上的呢？也许只是我们祖先的无心之举，却将酒水带到这世上。从酒诞生在这世上的一刻开始，人类对于酒的嗜好就从未中断过。古往今来，“禁酒令”屡见不鲜，但却从未听说有人成功。美国禁酒令时期黑手党盛行，形成黑市以弥补需求的不足，更有甚者买不起酒就直接买工业酒精来喝，因此中毒也在所不惜。
  人们究竟为什么这么喜欢酒呢？或许是因为现实压力太大了吧。在白天清醒的时候，总要小心翼翼、精打细算，忧心自己的当下和未来。这样的压力背负在身上让人喘不过气来。夜晚在酒吧里，凭借杯中之物，人们可以暂时忘却现实的残酷，和从不认识的人一起称兄道弟。酒精麻痹了人的感官，迟钝了人的知觉，却似乎得以让人的灵性摆脱锁链，到达更高的维度。
  我的朋友说“数学家就是这样一种生物，他们喜欢披萨胜过米饭，喜欢咖啡胜过水”。虽然我既没有很喜欢披萨也并不喜欢咖啡（当然我也不是数学家），但我想把酒与咖啡放在同样的位置上是完全合理的。咖啡让数学家在白天保持清醒的头脑，而酒则在晚上麻痹对现实的感知，让灵性升入更高的国度。我想，一个一直受现实琐事烦扰的人应该很难成为一个数学家，也很难过让自己高兴的生活。无论是不是通过酒，还是希望将来能够在现实的压力下有片刻喘息之机。

  我们之前讨论的问题都处在离散时间的框架下，即随机序列\((\rm X_t)\)中\(\rm t\)只能取正整数。现在让我们跳出这一框架，讨论更一般的，连续时间的随机过程。具体而言，我们从两个著名的随机过程——泊松过程和布朗运动出发，来一窥连续时间随机过程的不同之处。

马氏链与转移函数

  我们已经在第二章的最后看到了马氏性的定义，即\(\rm \mathbb{P}^x(X_{n+1}=y|X_i=x_i,0\leq i\leq n)=\mathbb{P}(X_{n+1}=y|X_n=x_n)\)，也就是只依赖于现在的位置。另一方面，概率\(\rm\mathbb{P}(X_{n+1}=y|X_n=x_n)\)也可能与时间\(\rm n\)有关，而如果事实上这个概率与\(\rm n\)无关，我们就说这个随机序列具有时间齐性。

鞅与鞅基本定理

  “鞅”是一个陌生的词，简单来说，鞅是研究公平游戏的工具。对随机游动而言我们有\(\mathbb{E}(\rm X_{n+1}|X_n,\cdots,X_1)=\mathbb{E}(\xi_{n+1}|X_n,\cdots,X_1)+X_n=X_n\)换言之，第n+1次游戏在已知前n次游戏的信息后期望为0，我们把这个看作一个公平的游戏，进而给出鞅的基本定义。

Bernoulli序列与首中时

  我们现在来研究简单随机游动，在一条直线上从0开始，每步有\(\rm{p}\)的概率向右，\(\rm{q}\)的概率向左，这其实是一直重复Bernoulli实验，即位置变化在每一步分别以\(\rm{p},q(p+q=1)\)的概率为1,-1,设第n次实验的结果为\(\xi_n\in\{1,-1\}\)，那么\(\{\xi_n\}\)是一个独立同分布的随机变量序列，称为Berboulli序列。上述描述看起来显然且直观，但严格的定义需要构造符合要求的概率空间使得其上有Bernoulli序列。事实上，取\(\xi\)是区间\([0,1]\)上均匀分布的随机变量，则考虑其无限二进制表示的第n位小数\(\eta_n\)，取值为0和1，不难验证\(\eta_n\)构成一个Bernoulli序列。我们进而给出简单随机游动的严格表述，在取值为1，-1的Bernoulli序列\(\{\eta_n\}\)中，我们设：
\[\rm{X}_0=0,X_n=\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n,n\geq1\]

单调类方法

我们从一个例题开始：
设\(\xi,\eta\)为两个随机变量，则以下断言等价：
（1）\(\forall x \in \mathbb{R},\mathbb{P}(\xi \leq x)=\mathbb{P}(\eta \leq x)\)
（2）对任何Borel集 B，\(\mathbb{P}(\xi \in \rm{B})=\mathbb{P}(\eta \in \rm{B})\)
（3）对任何有界（或非负）Borel可测函数f，\(\mathbb{E}\rm{f}(\xi)=\mathbb{E}\rm{f}(\eta)\)

  本笔记为作者复习复旦大学随机课程时根据应坚刚老师的讲义整理所得。随机过程课程主要讲述离散时间下的随机过程，包括简单随机过程、鞅和Markov链相关内容，同时也涉及一部分连续时间，如泊松过程和布朗运动，可以说是随机分析的基础。笔记被分为五个章节整理如下。
随机过程笔记（一）——预备知识
随机过程笔记（二）——简单随机游动
随机过程笔记（三）——鞅及其应用
随机过程笔记（四）——马氏链
随机过程笔记（五）——泊松过程与布朗运动

  之前被高中老师和同学喊去拍毕业照时还不觉得，今天吃完中饭路过光草看到穿着学士服拍毕业照的学长学姐才恍然发觉，又是一年毕业季，又是一群熟悉的人要就此分别，各奔东西。
  不知道三年后的我会是什么样。我和朋友们会不会坐在熟悉的餐厅里，在酒足饭饱后互相告别，各自走上自己的路。我们再见时又会是怎样的光景呢。无论如何，惟愿自己不失本心，一路向前。